BZOJ 3884: 上帝与集合的正确用法
数论 好题    2016-10-29 16:42:18    289    -2    0
jszyxw   数论 好题

3884: 上帝与集合的正确用法

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Description

 
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
 
一句话题意:

 

 

Input

 
接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值

 

Output

T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值

 

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

 

对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7
 

Source

By PoPoQQQ

 

Solution

设 p = 2^k * t

原式 = 2^k * (2^(原式-k)) % t

        = 2^k * (2^((原式-k) % φ(t))) % t

这样递归下去,最终φ(t)=1,代回去即可

时间复杂度O(T log P sqrt(P))

 

Source code

/*{{{*/

//#define MULTI_DATA
//#pragma GCC optimize("O3")

#include <bits/stdc++.h>

#ifdef __linux__
#define getchar getchar_unlocked
#define putchar putchar_unlocked
#endif

typedef long long ll;
typedef std::pair<int, int> pii;

std::string program_name = __FILE__;
std::string iput = program_name.substr(0, program_name.length() - 4) + ".in";
std::string oput = program_name.substr(0, program_name.length() - 4) + ".out";

template <class T> inline bool chkmin(T &x, T y) { return x > y ? x = y, true : false; }
template <class T> inline bool chkmax(T &x, T y) { return x < y ? x = y, true : false; }

template <class T> inline T &read(T &x)
{
    static int f;
    static char c; 
    for (f = 1; !isdigit(c = getchar()); ) {
        if (c == '-') 
            f = -1;
#ifdef MULTI_DATA
        else if (c == EOF)
#ifdef DEBUG_STATUS
            assert(false);
#else
            exit(0);
#endif 
#endif
    }
    for (x = 0; isdigit(c); c = getchar()) 
        x = x * 10 + c - 48;
    return x *= f;
}
 
template <class T> void write(T x, const char p = '\n')
{
    static int top;
    static int s[30];
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    do s[++ top] = x % 10 + 48; while (x /= 10);
    while (top) 
        putchar(s[top --]);
    putchar(p);
}
/*}}}*/
 
inline int Phi(int x)
{
    int ret = x;
    for (register int i = 2; i * i <= x; ++ i) {
        if (x % i == 0) {
            ret -= ret / i;
            do x /= i; while (x % i == 0);
        }
    }
    if (x ^ 1) ret -= ret / x;
    return ret;
}

inline int qpow(long long x, int n, int mod)
{
    long long ret = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) ret = (x * ret) % mod;
        x = (x * x) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

inline int solve(int p)
{
    if (p == 1) return 0;
    int k = 0;
    while (~p & 1) ++ k, p >>= 1;
    int PHI = Phi(p);
    return qpow(2, (solve(PHI) + PHI - k % PHI) % PHI, p) % p << k;
}

void exec() 
{
    for (int _, T = read(_); T --; write(solve(read(_))));
}

/*{{{*/
int main() 
{
    if (fopen(iput.c_str(), "r") != NULL) {
        freopen(iput.c_str(), "r", stdin);
        freopen(oput.c_str(), "w", stdout);
    }

#ifdef MULTI_DATA
    for(; ; )
#endif
        exec();

#ifndef __linux__
#ifdef DEBUG_STATUS
    std::cerr << "Running Time: " << (double) clock() / CLOCKS_PER_SEC << std::endl;
#endif
#endif

    fclose(stdin);
    fclose(stdout);

    return 0;
}
/*}}}*/

 

10-29 学军 NOIP模拟 T3
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